Что такое натуральное число в математике?

Содержание

  1. Что такое натуральное число в математике?
  2. Определение натуральных чисел
  3. Особенности натуральных чисел
  4. Операции с натуральными числами
  5. Что стоит знать о натуральных числах?

Все дети с ранних лет изучают математику. Поначалу она позволяет узнать простые вещи, легко применимые в жизни, но с течением времени задачи постоянно усложняются. Появляется и новая терминология, по которой не всегда можно понять, что имеется в виду. Например, что такое натуральное число в математике?

что такое натуральное число в математике

В древние времена люди не пользовались цифрами так, как делают это сейчас, однако счет всё равно был им необходим. Предметы сравнивались по количеству с чем-то, например, кто-то имел столько же ягод, сколько и пальцев на одной руке. Постепенно люди изобрели систему счета, а с ней появились и новые термины.

Что такое натуральное число в математике?

Это понятие относится к одним из самых старых, так как оно родилось из-за древней необходимости научиться считать количество обычных предметов. Что значит натуральное число? Чаще всего дается следующее определение – это числа, которые возникают при подсчете, причем происходит подобное естественным образом.

Отсюда берется и второе название этого термина – естественные числа. Своей последовательностью, расположенностью по возрастанию, они образуют натуральный ряд. Иначе говоря, все цифры, начиная с единицы, которые используются для подсчета предметов, являются натуральными.

Таким образом, существует самое малое натуральное число – им является единица. Наибольшего же не бывает, так как к любой цифре можно добавить ещё один. Ноль не входит в натуральный ряд, так как с его помощью нельзя ничего посчитать, хотя далеко не все ученые с этим согласны.

древняя математика

Определение натуральных чисел

Подобные цифры определяются двумя главными методами. Первый из них подразумевает перечисление всего имеющегося, а второй называет итоговое количество.

  • Первый метод определения является подсчетом или нумерацией имеющихся предметов. Например, видя перед собой несколько яблок, человек может посчитать их – одно, два, три…
  • Второй метод определения называет итоговое количество имеющихся предметов. Таким образом, если яблок нет совсем, то можно сказать, что предметов нет. Это значит, что при подсчете появляется ноль.

В этой цифре и заключается основная разница между двумя данными методами определения. В первом случае минимальным числом является единица, а во втором возможно и использование нуля. Математики так и не смогли прийти к единогласному решению о том, какой метод лучше, и стоит ли ставить ноль в один ряд с другими натуральными числами.

Как правило, применяется всё же первый вариант, оставляющий спорную цифру в стороне. Тем не менее, в некоторых трудах, вроде Бурбаки, используется другой подход. Помимо этого, ноль является неотъемлемой и широко применяемой частью в мире программирования.

естественные числа

Особенности натуральных чисел

Главное, о чем нужно помнить при упоминании подобных чисел, так это об их обязанности быть естественными. Они должны быть такими, чтобы с их помощью было возможно подсчитать количество каких-то предметов. Естественные числа должны быть доступными и понятными для всех.

По этой причине к ним не относятся отрицательные показатели и различные нецелые числа. Например, рациональное, обозначающееся в виде дроби, или вещественные, представляющее собой математический объект, не смогут стать частью натурального ряда.

Что такое натуральное число в математике? Все эти цифры принято обозначать буквой N. Её выбрали потому, что на латинском языке слово естественный пишется как naturalis, то есть начинается с литеры N. Число, подразумеваемое под этим обозначением, бесконечно.

Нередко для доказательства сложных теорем полезно помнить и о нуле. Он входит в расширенный натуральный ряд, который обозначают с помощью соответствующей цифры, приписанной снизу к букве N. Иногда вместо неё применяете Z, вновь с тем же маленьким нулем рядом.

цифры

Операции с натуральными числами

В математике существует понятие замыкания. Оно обозначает минимально возможное расширение какого-то множества, операции с которым не выходят за его пределы. В отношении натуральных чисел выделяется несколько таких замкнутых операций.

  • В первую очередь, это сложение. Естественные числа легко можно сложить друг с другом, чтобы получить какую-то сумму.
  • Возможно и умножение. Два натуральных множителя дадут произведение.
  • Наконец, используется возведение в степень. Оно состоит из основания и показателя. В том случае, если обе части представлены натуральными числами, то и результат получится таким же.

Иногда в данном вопросе рассматриваются ещё две операции. Их проблема заключается в том, что они применимы не для всех случаев. Иногда подобное может существовать, а иногда нет. К этим операциям относятся:

  • Вычитание. Оно даст натуральное число только в том случае, если первая цифра будет больше второй. Иначе возможно получение отрицательного числа, не относящегося к натуральным, или же нуля, который является спорным;
  • То же самое относится и к делению. В самых простых примерах все числа в итоге будут естественными, однако существует множество ситуаций, в результате которых получатся нецелые.

Как правило, наука сосредотачивается на первых двух операциях – сложении и вычитании. Интересно, что именно они способствуют созданию кольца целых чисел – это происходит через бинарные сложения и умножения.

Что стоит знать о натуральных числах?

Цифры, используемые для счета, не всегда были такими, как мы их знаем сегодня. Изначально применялось относительно схематическое изображение, постепенно сформировавшееся в римские цифры.

Современный же вариант зародился в Индии, примерно полторы тысячи лет назад. Впоследствии они были привезены в европейские страны арабами, за что и получили своё известное название – арабские цифры. Несмотря на то, что натуральных чисел может быть любое количество, цифр всего десять – от нуля и до девятки.

Если рассматривать натуральный ряд, то в нем каждое число будет отличаться от предыдущего или последующего на единицу, при том, что сам ряд бесконечен. Однако, в процессе счета появляется так называемая десятичная позиционная.

Под этим словом подразумевается тот факт, что когда числа доходят до десяти, они образуют новую единицу старшего разряда. Эти разряды бывают самыми разными – в частности, к ним относятся миллионы и миллиарды. В зависимости от их количества, разряды объединяют по классам.

Например, миллиарды могут исчисляться десятками или сотнями. Это будут разряды, но все они в целом образуют класс миллиардов. То же самое происходит и с разрядами миллионов, тысяч, сотен, десяток и единиц.

разряды

Добавить комментарий